3.524 \(\int \cot ^2(c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{5/2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=151 \[ -\frac{5 a^{3/2} b \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{d}-\frac{a^2 \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{d}+\frac{i (a-i b)^{5/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{d}-\frac{i (a+i b)^{5/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d} \]

[Out]

(-5*a^(3/2)*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (I*(a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x
]]/Sqrt[a - I*b]])/d - (I*(a + I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (a^2*Cot[c + d*
x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.507786, antiderivative size = 151, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 12, number of rules used = 7, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.304, Rules used = {3565, 3653, 3539, 3537, 63, 208, 3634} \[ -\frac{5 a^{3/2} b \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{d}-\frac{a^2 \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{d}+\frac{i (a-i b)^{5/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{d}-\frac{i (a+i b)^{5/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2),x]

[Out]

(-5*a^(3/2)*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + (I*(a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x
]]/Sqrt[a - I*b]])/d - (I*(a + I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d - (a^2*Cot[c + d*
x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d

Rule 3565

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
mp[((b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(n + 1)*(c^2 + d^2)), x] - D
ist[1/(d*(n + 1)*(c^2 + d^2)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 3)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a^2*d*(b*d*(
m - 2) - a*c*(n + 1)) + b*(b*c - 2*a*d)*(b*c*(m - 2) + a*d*(n + 1)) - d*(n + 1)*(3*a^2*b*c - b^3*c - a^3*d + 3
*a*b^2*d)*Tan[e + f*x] - b*(a*d*(2*b*c - a*d)*(m + n - 1) - b^2*(c^2*(m - 2) - d^2*(n + 1)))*Tan[e + f*x]^2, x
], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && Gt
Q[m, 2] && LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*m]

Rule 3653

Int[(((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2))/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[1/(a^2 + b^2), Int[(c + d*Tan[e + f*
x])^n*Simp[b*B + a*(A - C) + (a*B - b*(A - C))*Tan[e + f*x], x], x], x] + Dist[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/(a^2 +
b^2), Int[((c + d*Tan[e + f*x])^n*(1 + Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !GtQ[n, 0] &&  !LeQ[n, -
1]

Rule 3539

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c
+ I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(1 - I*Tan[e + f*x]), x], x] + Dist[(c - I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x]
)^m*(1 + I*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0]
&& NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

Rule 3537

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c*
d)/f, Subst[Int[(a + (b*x)/d)^m/(d^2 + c*x), x], x, d*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[c^2 + d^2, 0]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rule 3634

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_) + (C_.)*
tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Dist[A/f, Subst[Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n, x], x, Tan[e + f*x]], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m, n}, x] && EqQ[A, C]

Rubi steps

\begin{align*} \int \cot ^2(c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{5/2} \, dx &=-\frac{a^2 \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{d}+\int \frac{\cot (c+d x) \left (\frac{5 a^2 b}{2}-a \left (a^2-3 b^2\right ) \tan (c+d x)-\frac{1}{2} b \left (a^2-2 b^2\right ) \tan ^2(c+d x)\right )}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx\\ &=-\frac{a^2 \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{d}+\frac{1}{2} \left (5 a^2 b\right ) \int \frac{\cot (c+d x) \left (1+\tan ^2(c+d x)\right )}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx+\int \frac{-a \left (a^2-3 b^2\right )-b \left (3 a^2-b^2\right ) \tan (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx\\ &=-\frac{a^2 \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{d}-\frac{1}{2} (a-i b)^3 \int \frac{1+i \tan (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx-\frac{1}{2} (a+i b)^3 \int \frac{1-i \tan (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx+\frac{\left (5 a^2 b\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\tan (c+d x)\right )}{2 d}\\ &=-\frac{a^2 \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{d}+\frac{\left (5 a^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tan (c+d x)}\right )}{d}-\frac{(i a-b)^3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(-1+x) \sqrt{a+i b x}} \, dx,x,-i \tan (c+d x)\right )}{2 d}+\frac{(i a+b)^3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(-1+x) \sqrt{a-i b x}} \, dx,x,i \tan (c+d x)\right )}{2 d}\\ &=-\frac{5 a^{3/2} b \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{d}-\frac{a^2 \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{d}+\frac{(a-i b)^3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1-\frac{i a}{b}+\frac{i x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tan (c+d x)}\right )}{b d}+\frac{(a+i b)^3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1+\frac{i a}{b}-\frac{i x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tan (c+d x)}\right )}{b d}\\ &=-\frac{5 a^{3/2} b \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{d}+\frac{i (a-i b)^{5/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{d}-\frac{i (a+i b)^{5/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d}-\frac{a^2 \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{d}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.472538, size = 233, normalized size = 1.54 \[ \frac{-5 a^{3/2} b \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )-i a^2 \sqrt{a+i b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )-a^2 \cot (c+d x) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}+i b^2 \sqrt{a+i b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )+i (a-i b)^{5/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )+2 a b \sqrt{a+i b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Cot[c + d*x]^2*(a + b*Tan[c + d*x])^(5/2),x]

[Out]

(-5*a^(3/2)*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]] + I*(a - I*b)^(5/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/S
qrt[a - I*b]] - I*a^2*Sqrt[a + I*b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]] + 2*a*Sqrt[a + I*b]*b*ArcT
anh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]] + I*Sqrt[a + I*b]*b^2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*
b]] - a^2*Cot[c + d*x]*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/d

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 1.011, size = 45707, normalized size = 302.7 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cot(d*x+c)^2*(a+b*tan(d*x+c))^(5/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)^2*(a+b*tan(d*x+c))^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 64.3668, size = 31817, normalized size = 210.71 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)^2*(a+b*tan(d*x+c))^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(4*sqrt(2)*(d^5*cos(d*x + c)^2 - d^5)*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10
+ (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))
/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 +
5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(3/4)*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*arctan(-((
5*a^18 + 25*a^16*b^2 + 36*a^14*b^4 - 28*a^12*b^6 - 154*a^10*b^8 - 210*a^8*b^10 - 140*a^6*b^12 - 44*a^4*b^14 -
3*a^2*b^16 + b^18)*d^4*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*sqrt((25*a^8*
b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4) + (5*a^23 + 35*a^21*b^2 + 91*a^19*b^4 + 69*a^17*b^6
- 174*a^15*b^8 - 546*a^13*b^10 - 714*a^11*b^12 - 534*a^9*b^14 - 231*a^7*b^16 - 49*a^5*b^18 - a^3*b^20 + a*b^22
)*d^2*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4) + sqrt(2)*(2*(5*a^9*b - 14*a^5*b^
5 - 8*a^3*b^7 + a*b^9)*d^7*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*sqrt((25*
a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4) + (15*a^14*b + 25*a^12*b^3 - 37*a^10*b^5 - 99*a^
8*b^7 - 51*a^6*b^9 + 11*a^4*b^11 + 9*a^2*b^13 - b^15)*d^5*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^
2*b^8 + b^10)/d^4))*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 +
5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*
b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^10 + 5*a^8*b^
2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(3/4) - sqrt(2)*(2*a*d^7*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*
b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^
4) + (3*a^6 + 5*a^4*b^2 + a^2*b^4 - b^6)*d^5*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)
/d^4))*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*
sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4
*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*sqrt(((25*a^14*b^2 - 25*a^12*b^4 - 115*a^10*b^6 + 35*a^8*b^8 + 171*a^6*b^10 + 53*a^
4*b^12 - 17*a^2*b^14 + b^16)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*cos
(d*x + c) + sqrt(2)*((75*a^10*b^3 - 325*a^8*b^5 + 430*a^6*b^7 - 170*a^4*b^9 + 23*a^2*b^11 - b^13)*d^3*sqrt((a^
10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*cos(d*x + c) + 2*(25*a^15*b^3 - 25*a^13*b^5
- 115*a^11*b^7 + 35*a^9*b^9 + 171*a^7*b^11 + 53*a^5*b^13 - 17*a^3*b^15 + a*b^17)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^10 +
5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b
^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 +
b^10))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a
^2*b^8 + b^10)/d^4)^(1/4) + (25*a^19*b^2 + 25*a^17*b^4 - 140*a^15*b^6 - 220*a^13*b^8 + 126*a^11*b^10 + 430*a^9
*b^12 + 260*a^7*b^14 + 20*a^5*b^16 - 15*a^3*b^18 + a*b^20)*cos(d*x + c) + (25*a^18*b^3 + 25*a^16*b^5 - 140*a^1
4*b^7 - 220*a^12*b^9 + 126*a^10*b^11 + 430*a^8*b^13 + 260*a^6*b^15 + 20*a^4*b^17 - 15*a^2*b^19 + b^21)*sin(d*x
+ c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c)))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(3/4)
)/(25*a^26*b^2 + 125*a^24*b^4 + 110*a^22*b^6 - 530*a^20*b^8 - 1469*a^18*b^10 - 921*a^16*b^12 + 1716*a^14*b^14
+ 3924*a^12*b^16 + 3471*a^10*b^18 + 1531*a^8*b^20 + 254*a^6*b^22 - 34*a^4*b^24 - 11*a^2*b^26 + b^28)) + 4*sqrt
(2)*(d^5*cos(d*x + c)^2 - d^5)*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10
*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2
- 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 +
b^10)/d^4)^(3/4)*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*arctan(((5*a^18 + 25*a
^16*b^2 + 36*a^14*b^4 - 28*a^12*b^6 - 154*a^10*b^8 - 210*a^8*b^10 - 140*a^6*b^12 - 44*a^4*b^14 - 3*a^2*b^16 +
b^18)*d^4*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6
*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4) + (5*a^23 + 35*a^21*b^2 + 91*a^19*b^4 + 69*a^17*b^6 - 174*a^15*b^
8 - 546*a^13*b^10 - 714*a^11*b^12 - 534*a^9*b^14 - 231*a^7*b^16 - 49*a^5*b^18 - a^3*b^20 + a*b^22)*d^2*sqrt((2
5*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4) - sqrt(2)*(2*(5*a^9*b - 14*a^5*b^5 - 8*a^3*b^7
+ a*b^9)*d^7*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*sqrt((25*a^8*b^2 - 100
*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4) + (15*a^14*b + 25*a^12*b^3 - 37*a^10*b^5 - 99*a^8*b^7 - 51*a^
6*b^9 + 11*a^4*b^11 + 9*a^2*b^13 - b^15)*d^5*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)
/d^4))*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*
sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4
*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^
4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(3/4) + sqrt(2)*(2*a*d^7*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*
b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4) + (3*a^6 +
5*a^4*b^2 + a^2*b^4 - b^6)*d^5*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4))*sqrt((
a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 +
5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2
*b^8 + b^10))*sqrt(((25*a^14*b^2 - 25*a^12*b^4 - 115*a^10*b^6 + 35*a^8*b^8 + 171*a^6*b^10 + 53*a^4*b^12 - 17*a
^2*b^14 + b^16)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*cos(d*x + c) - s
qrt(2)*((75*a^10*b^3 - 325*a^8*b^5 + 430*a^6*b^7 - 170*a^4*b^9 + 23*a^2*b^11 - b^13)*d^3*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^
2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*cos(d*x + c) + 2*(25*a^15*b^3 - 25*a^13*b^5 - 115*a^11*b^
7 + 35*a^9*b^9 + 171*a^7*b^11 + 53*a^5*b^13 - 17*a^3*b^15 + a*b^17)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 1
0*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b
^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*sqrt((
a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10
)/d^4)^(1/4) + (25*a^19*b^2 + 25*a^17*b^4 - 140*a^15*b^6 - 220*a^13*b^8 + 126*a^11*b^10 + 430*a^9*b^12 + 260*a
^7*b^14 + 20*a^5*b^16 - 15*a^3*b^18 + a*b^20)*cos(d*x + c) + (25*a^18*b^3 + 25*a^16*b^5 - 140*a^14*b^7 - 220*a
^12*b^9 + 126*a^10*b^11 + 430*a^8*b^13 + 260*a^6*b^15 + 20*a^4*b^17 - 15*a^2*b^19 + b^21)*sin(d*x + c))/((a^2
+ b^2)*cos(d*x + c)))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(3/4))/(25*a^26*b^
2 + 125*a^24*b^4 + 110*a^22*b^6 - 530*a^20*b^8 - 1469*a^18*b^10 - 921*a^16*b^12 + 1716*a^14*b^14 + 3924*a^12*b
^16 + 3471*a^10*b^18 + 1531*a^8*b^20 + 254*a^6*b^22 - 34*a^4*b^24 - 11*a^2*b^26 + b^28)) + 4*(a^12 + 5*a^10*b^
2 + 10*a^8*b^4 + 10*a^6*b^6 + 5*a^4*b^8 + a^2*b^10)*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*cos(d
*x + c)*sin(d*x + c) + sqrt(2)*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)*d*cos(d*x + c)
^2 - (a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)*d - ((a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^3*cos
(d*x + c)^2 - (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^3)*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 +
b^10)/d^4))*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4
)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 1
10*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(1/4)*l
og(((25*a^14*b^2 - 25*a^12*b^4 - 115*a^10*b^6 + 35*a^8*b^8 + 171*a^6*b^10 + 53*a^4*b^12 - 17*a^2*b^14 + b^16)*
d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((75*a^10
*b^3 - 325*a^8*b^5 + 430*a^6*b^7 - 170*a^4*b^9 + 23*a^2*b^11 - b^13)*d^3*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 +
10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*cos(d*x + c) + 2*(25*a^15*b^3 - 25*a^13*b^5 - 115*a^11*b^7 + 35*a^9*b^9 +
171*a^7*b^11 + 53*a^5*b^13 - 17*a^3*b^15 + a*b^17)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a
^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6
+ 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*sqrt((a*cos(d*x + c) +
b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(1/4) + (
25*a^19*b^2 + 25*a^17*b^4 - 140*a^15*b^6 - 220*a^13*b^8 + 126*a^11*b^10 + 430*a^9*b^12 + 260*a^7*b^14 + 20*a^5
*b^16 - 15*a^3*b^18 + a*b^20)*cos(d*x + c) + (25*a^18*b^3 + 25*a^16*b^5 - 140*a^14*b^7 - 220*a^12*b^9 + 126*a^
10*b^11 + 430*a^8*b^13 + 260*a^6*b^15 + 20*a^4*b^17 - 15*a^2*b^19 + b^21)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x +
c))) - sqrt(2)*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)*d*cos(d*x + c)^2 - (a^10 + 5*
a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)*d - ((a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^3*cos(d*x + c)^2 - (
a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^3)*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))*sq
rt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^1
0 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20
*a^2*b^8 + b^10))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(1/4)*log(((25*a^14*b^
2 - 25*a^12*b^4 - 115*a^10*b^6 + 35*a^8*b^8 + 171*a^6*b^10 + 53*a^4*b^12 - 17*a^2*b^14 + b^16)*d^2*sqrt((a^10
+ 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((75*a^10*b^3 - 325*a^8*
b^5 + 430*a^6*b^7 - 170*a^4*b^9 + 23*a^2*b^11 - b^13)*d^3*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5
*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*cos(d*x + c) + 2*(25*a^15*b^3 - 25*a^13*b^5 - 115*a^11*b^7 + 35*a^9*b^9 + 171*a^7*b^11 +
53*a^5*b^13 - 17*a^3*b^15 + a*b^17)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*
b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b
^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c)
)/cos(d*x + c))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(1/4) + (25*a^19*b^2 + 2
5*a^17*b^4 - 140*a^15*b^6 - 220*a^13*b^8 + 126*a^11*b^10 + 430*a^9*b^12 + 260*a^7*b^14 + 20*a^5*b^16 - 15*a^3*
b^18 + a*b^20)*cos(d*x + c) + (25*a^18*b^3 + 25*a^16*b^5 - 140*a^14*b^7 - 220*a^12*b^9 + 126*a^10*b^11 + 430*a
^8*b^13 + 260*a^6*b^15 + 20*a^4*b^17 - 15*a^2*b^19 + b^21)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c))) - 5*(a^11
*b + 5*a^9*b^3 + 10*a^7*b^5 + 10*a^5*b^7 + 5*a^3*b^9 + a*b^11 - (a^11*b + 5*a^9*b^3 + 10*a^7*b^5 + 10*a^5*b^7
+ 5*a^3*b^9 + a*b^11)*cos(d*x + c)^2)*sqrt(a)*log(-(8*a*b*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (8*a^2 - b^2)*cos(d*x +
c)^2 + b^2 - 4*(2*a*cos(d*x + c)^2 + b*cos(d*x + c)*sin(d*x + c))*sqrt(a)*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c
))/cos(d*x + c)))/(cos(d*x + c)^2 - 1)))/((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)*d*co
s(d*x + c)^2 - (a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)*d), 1/4*(4*sqrt(2)*(d^5*cos(d*x
+ c)^2 - d^5)*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b
^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 +
110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(3/4)
*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*arctan(-((5*a^18 + 25*a^16*b^2 + 36*a^
14*b^4 - 28*a^12*b^6 - 154*a^10*b^8 - 210*a^8*b^10 - 140*a^6*b^12 - 44*a^4*b^14 - 3*a^2*b^16 + b^18)*d^4*sqrt(
(a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*
b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4) + (5*a^23 + 35*a^21*b^2 + 91*a^19*b^4 + 69*a^17*b^6 - 174*a^15*b^8 - 546*a^13*b^
10 - 714*a^11*b^12 - 534*a^9*b^14 - 231*a^7*b^16 - 49*a^5*b^18 - a^3*b^20 + a*b^22)*d^2*sqrt((25*a^8*b^2 - 100
*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4) + sqrt(2)*(2*(5*a^9*b - 14*a^5*b^5 - 8*a^3*b^7 + a*b^9)*d^7*s
qrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*
a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4) + (15*a^14*b + 25*a^12*b^3 - 37*a^10*b^5 - 99*a^8*b^7 - 51*a^6*b^9 + 11*a^4*
b^11 + 9*a^2*b^13 - b^15)*d^5*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4))*sqrt((a^
10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*
a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b
^8 + b^10))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6
+ 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(3/4) - sqrt(2)*(2*a*d^7*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8
+ b^10)/d^4)*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4) + (3*a^6 + 5*a^4*b^2 + a^
2*b^4 - b^6)*d^5*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4))*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^
2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*
a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*s
qrt(((25*a^14*b^2 - 25*a^12*b^4 - 115*a^10*b^6 + 35*a^8*b^8 + 171*a^6*b^10 + 53*a^4*b^12 - 17*a^2*b^14 + b^16)
*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((75*a^1
0*b^3 - 325*a^8*b^5 + 430*a^6*b^7 - 170*a^4*b^9 + 23*a^2*b^11 - b^13)*d^3*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4
+ 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*cos(d*x + c) + 2*(25*a^15*b^3 - 25*a^13*b^5 - 115*a^11*b^7 + 35*a^9*b^9
+ 171*a^7*b^11 + 53*a^5*b^13 - 17*a^3*b^15 + a*b^17)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*
a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6
+ 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*sqrt((a*cos(d*x + c)
+ b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(1/4) +
(25*a^19*b^2 + 25*a^17*b^4 - 140*a^15*b^6 - 220*a^13*b^8 + 126*a^11*b^10 + 430*a^9*b^12 + 260*a^7*b^14 + 20*a^
5*b^16 - 15*a^3*b^18 + a*b^20)*cos(d*x + c) + (25*a^18*b^3 + 25*a^16*b^5 - 140*a^14*b^7 - 220*a^12*b^9 + 126*a
^10*b^11 + 430*a^8*b^13 + 260*a^6*b^15 + 20*a^4*b^17 - 15*a^2*b^19 + b^21)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x
+ c)))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(3/4))/(25*a^26*b^2 + 125*a^24*b^
4 + 110*a^22*b^6 - 530*a^20*b^8 - 1469*a^18*b^10 - 921*a^16*b^12 + 1716*a^14*b^14 + 3924*a^12*b^16 + 3471*a^10
*b^18 + 1531*a^8*b^20 + 254*a^6*b^22 - 34*a^4*b^24 - 11*a^2*b^26 + b^28)) + 4*sqrt(2)*(d^5*cos(d*x + c)^2 - d^
5)*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt
((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6
- 20*a^2*b^8 + b^10))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(3/4)*sqrt((25*a^
8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*arctan(((5*a^18 + 25*a^16*b^2 + 36*a^14*b^4 - 28*a
^12*b^6 - 154*a^10*b^8 - 210*a^8*b^10 - 140*a^6*b^12 - 44*a^4*b^14 - 3*a^2*b^16 + b^18)*d^4*sqrt((a^10 + 5*a^8
*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*
b^8 + b^10)/d^4) + (5*a^23 + 35*a^21*b^2 + 91*a^19*b^4 + 69*a^17*b^6 - 174*a^15*b^8 - 546*a^13*b^10 - 714*a^11
*b^12 - 534*a^9*b^14 - 231*a^7*b^16 - 49*a^5*b^18 - a^3*b^20 + a*b^22)*d^2*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 11
0*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4) - sqrt(2)*(2*(5*a^9*b - 14*a^5*b^5 - 8*a^3*b^7 + a*b^9)*d^7*sqrt((a^10 + 5
*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*
a^2*b^8 + b^10)/d^4) + (15*a^14*b + 25*a^12*b^3 - 37*a^10*b^5 - 99*a^8*b^7 - 51*a^6*b^9 + 11*a^4*b^11 + 9*a^2*
b^13 - b^15)*d^5*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4))*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^
2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*
a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*s
qrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 +
b^10)/d^4)^(3/4) + sqrt(2)*(2*a*d^7*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)
*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4) + (3*a^6 + 5*a^4*b^2 + a^2*b^4 - b^6)*
d^5*sqrt((25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10)/d^4))*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^
4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*
a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*sqrt(((25*a^14
*b^2 - 25*a^12*b^4 - 115*a^10*b^6 + 35*a^8*b^8 + 171*a^6*b^10 + 53*a^4*b^12 - 17*a^2*b^14 + b^16)*d^2*sqrt((a^
10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((75*a^10*b^3 - 325*a
^8*b^5 + 430*a^6*b^7 - 170*a^4*b^9 + 23*a^2*b^11 - b^13)*d^3*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6
+ 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*cos(d*x + c) + 2*(25*a^15*b^3 - 25*a^13*b^5 - 115*a^11*b^7 + 35*a^9*b^9 + 171*a^7*b^1
1 + 53*a^5*b^13 - 17*a^3*b^15 + a*b^17)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a
^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8
+ b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x +
c))/cos(d*x + c))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(1/4) + (25*a^19*b^2
+ 25*a^17*b^4 - 140*a^15*b^6 - 220*a^13*b^8 + 126*a^11*b^10 + 430*a^9*b^12 + 260*a^7*b^14 + 20*a^5*b^16 - 15*a
^3*b^18 + a*b^20)*cos(d*x + c) + (25*a^18*b^3 + 25*a^16*b^5 - 140*a^14*b^7 - 220*a^12*b^9 + 126*a^10*b^11 + 43
0*a^8*b^13 + 260*a^6*b^15 + 20*a^4*b^17 - 15*a^2*b^19 + b^21)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c)))*((a^10
+ 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(3/4))/(25*a^26*b^2 + 125*a^24*b^4 + 110*a^22*
b^6 - 530*a^20*b^8 - 1469*a^18*b^10 - 921*a^16*b^12 + 1716*a^14*b^14 + 3924*a^12*b^16 + 3471*a^10*b^18 + 1531*
a^8*b^20 + 254*a^6*b^22 - 34*a^4*b^24 - 11*a^2*b^26 + b^28)) + 4*(a^12 + 5*a^10*b^2 + 10*a^8*b^4 + 10*a^6*b^6
+ 5*a^4*b^8 + a^2*b^10)*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + sqrt(
2)*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)*d*cos(d*x + c)^2 - (a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*
a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)*d - ((a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^3*cos(d*x + c)^2 - (a^5 - 10*a^3*
b^2 + 5*a*b^4)*d^3)*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))*sqrt((a^10 + 5*
a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2
+ 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^
10))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(1/4)*log(((25*a^14*b^2 - 25*a^12*b
^4 - 115*a^10*b^6 + 35*a^8*b^8 + 171*a^6*b^10 + 53*a^4*b^12 - 17*a^2*b^14 + b^16)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 +
10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((75*a^10*b^3 - 325*a^8*b^5 + 430*a^6
*b^7 - 170*a^4*b^9 + 23*a^2*b^11 - b^13)*d^3*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^
10)/d^4)*cos(d*x + c) + 2*(25*a^15*b^3 - 25*a^13*b^5 - 115*a^11*b^7 + 35*a^9*b^9 + 171*a^7*b^11 + 53*a^5*b^13
- 17*a^3*b^15 + a*b^17)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 +
(a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(2
5*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c
))*((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(1/4) + (25*a^19*b^2 + 25*a^17*b^4 -
140*a^15*b^6 - 220*a^13*b^8 + 126*a^11*b^10 + 430*a^9*b^12 + 260*a^7*b^14 + 20*a^5*b^16 - 15*a^3*b^18 + a*b^20
)*cos(d*x + c) + (25*a^18*b^3 + 25*a^16*b^5 - 140*a^14*b^7 - 220*a^12*b^9 + 126*a^10*b^11 + 430*a^8*b^13 + 260
*a^6*b^15 + 20*a^4*b^17 - 15*a^2*b^19 + b^21)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c))) - sqrt(2)*((a^10 + 5*a
^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)*d*cos(d*x + c)^2 - (a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^
4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)*d - ((a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^3*cos(d*x + c)^2 - (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*
d^3)*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^
6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 +
10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*((a^10 + 5
*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(1/4)*log(((25*a^14*b^2 - 25*a^12*b^4 - 115*a^10*b
^6 + 35*a^8*b^8 + 171*a^6*b^10 + 53*a^4*b^12 - 17*a^2*b^14 + b^16)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 1
0*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((75*a^10*b^3 - 325*a^8*b^5 + 430*a^6*b^7 - 170*a^4*
b^9 + 23*a^2*b^11 - b^13)*d^3*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)*cos(d*
x + c) + 2*(25*a^15*b^3 - 25*a^13*b^5 - 115*a^11*b^7 + 35*a^9*b^9 + 171*a^7*b^11 + 53*a^5*b^13 - 17*a^3*b^15 +
a*b^17)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10 + (a^5 - 10*a^3*b
^2 + 5*a*b^4)*d^2*sqrt((a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4))/(25*a^8*b^2 - 100
*a^6*b^4 + 110*a^4*b^6 - 20*a^2*b^8 + b^10))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^10 + 5*a
^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)/d^4)^(1/4) + (25*a^19*b^2 + 25*a^17*b^4 - 140*a^15*b^6 -
220*a^13*b^8 + 126*a^11*b^10 + 430*a^9*b^12 + 260*a^7*b^14 + 20*a^5*b^16 - 15*a^3*b^18 + a*b^20)*cos(d*x + c)
+ (25*a^18*b^3 + 25*a^16*b^5 - 140*a^14*b^7 - 220*a^12*b^9 + 126*a^10*b^11 + 430*a^8*b^13 + 260*a^6*b^15 + 20*
a^4*b^17 - 15*a^2*b^19 + b^21)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c))) - 20*(a^11*b + 5*a^9*b^3 + 10*a^7*b^5
+ 10*a^5*b^7 + 5*a^3*b^9 + a*b^11 - (a^11*b + 5*a^9*b^3 + 10*a^7*b^5 + 10*a^5*b^7 + 5*a^3*b^9 + a*b^11)*cos(d
*x + c)^2)*sqrt(-a)*arctan(sqrt(-a)*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))/a))/((a^10 + 5*a^8*b^
2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)*d*cos(d*x + c)^2 - (a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6
+ 5*a^2*b^8 + b^10)*d)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)**2*(a+b*tan(d*x+c))**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)^2*(a+b*tan(d*x+c))^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out